Упр.6.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 6-66. По разные стороны от прямой $$a$$ даны две точки $$A$$ и $$B$$ на расстояниях 10 см и 4 см от неё. Найдите расстояние от середины отрезка $$AB$$ до прямой $$a$$.

Пусть $$AD$$ и $$BC$$ — перпендикуляры, опущенные из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AD=10$$ см, $$BC=4$$ см, а так как $$AD \perp a$$ и $$BC \perp a$$, то $$AD \parallel BC$$.

Следовательно, $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$. Через точку $$O$$ проведём прямую, параллельную основаниям трапеции; она пересечёт отрезки $$AC$$ и $$BD$$ в точках $$E$$ и $$E_1$$, а отрезок $$CD$$ — в точке $$H$$.

По теореме Фалеса точка $$E$$ делит сторону $$AC$$ пополам, а точка $$H$$ делит сторону $$CD$$ пополам. Значит, в треугольнике $$ACD$$ отрезок $$EH$$ — средняя линия, поэтому

$$EH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}.$$

Аналогично, в треугольнике $$ACB$$ отрезок $$EO$$ — средняя линия, значит

$$EO=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{ см}.$$

Так как $$OH \parallel AD$$ и $$AD \perp a$$, то $$OH \perp a$$. Следовательно, $$OH$$ — искомое расстояние от середины отрезка $$AB$$ до прямой $$a$$.

Тогда

$$OH=EH-EO=5-2=3\text{ см}.$$

Ответ: $$3$$ см.