Упр.15.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — вершина кругового сектора, а $$PA$$ и $$PB$$ — его боковые радиусы. Тогда

$$\angle APB=30^\circ,\qquad PA=PB=R.$$

При вращении сектора вокруг радиуса $$PB$$ получается шаровой сектор радиуса $$R$$. Его объём равен

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H,$$

где $$H$$ — высота шарового сектора.

Обозначим через $$O$$ центр основания шарового сектора. Тогда $$AA_1$$ — диаметр основания, значит $$AA_1\perp PB$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$POA$$:

$$\cos \angle OPA=\frac{OP}{AP}.$$

Так как $$\angle OPA=30^\circ$$ и $$AP=R$$, то

$$OP=R\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$H=OB=BP-OP=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{2-\sqrt3}{2}R.$$

Тогда

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{2-\sqrt3}{2}R=\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt3).$$