Упр.15.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см?
Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через его центр $$O$$ и центр основания шарового сектора $$O_1$$. Тогда $$O_1A=O_1B=60$$ см, а $$OA=OB=75$$ см.
В прямоугольном треугольнике $$AOO_1$$ по теореме Пифагора:
$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=\sqrt{2025}=45\text{ см}.$$
Высота соответствующего шарового сегмента равна
$$h_1=OC-OO_1=75-45=30\text{ см},$$
а высота второго сегмента:
$$h_2=OD+OO_1=75+45=120\text{ см}.$$
Объём шарового сектора вычисляется по формуле
$$V=\frac{2}{3}\pi R^2h,$$
где $$R=75$$ см — радиус шара, $$h$$ — высота соответствующего сегмента.
Тогда для сектора с высотой $$30$$ см:
$$V=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 30=112500\pi\text{ см}^3=112{,}5\pi\text{ дм}^3.$$
Для сектора с высотой $$120$$ см:
$$V=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 120=450000\pi\text{ см}^3=450\pi\text{ дм}^3.$$
Ответ: $$112{,}5\pi\text{ дм}^3$$ или $$450\pi\text{ дм}^3$$.
