Упр.15.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 64. Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-64 76

Подробный ответ

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара $$O$$ и центр основания шарового сектора $$O_1$$. Тогда в этом сечении получаем прямоугольный треугольник $$AOO_1$$, где

$$OA=75\text{ см}, \quad AO_1=60\text{ см}.$$

По теореме Пифагора найдём расстояние $$OO_1$$:

$$ OO_1=\sqrt{OA^2-AO_1^2} =\sqrt{75^2-60^2} =\sqrt{5625-3600} =\sqrt{2025}=45\text{ см}. $$

Высота соответствующего шарового сегмента равна

$$H=OC_1=OC-OO_1=75-45=30\text{ см}.$$

Объём шарового сектора вычисляется по формуле

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H,$$

где $$R=75\text{ см}$$ — радиус шара, $$H=30\text{ см}$$ — высота сегмента.

Тогда

$$ V=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 30 =\frac{2}{3}\pi\cdot 5625\cdot 30 =112500\pi\text{ см}^3. $$

Переведём в кубические дециметры:

$$112500\pi\text{ см}^3=112{,}5\pi\text{ дм}^3.$$