Упр.6.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 147). Найдите углы трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, в которой $$BC=AB=CD$$ и $$BD\perp AB$$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, значит $$\angle BAD=\angle CDA$$ и $$\angle ABC=\angle BCD$$.

Рассмотрим угол $$\angle BCD$$. Так как $$BD\perp AB$$, то

$$\angle BCD=90^\circ+\angle DBC.$$

С другой стороны, в равнобедренном треугольнике $$BCD$$ имеем $$\angle CBD=\angle CDB$$, поэтому

$$\angle BCD=180^\circ-2\angle CBD=180^\circ-2\angle DBC.$$

Тогда

$$90^\circ+\angle DBC=180^\circ-2\angle DBC,$$

откуда

$$3\angle DBC=90^\circ,\qquad \angle DBC=30^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle ABC=\angle BCD=180^\circ-2\cdot 30^\circ=120^\circ.$$

Так как $$AD\parallel BC$$, то внутренние односторонние углы при секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle BAD+\angle ABC=180^\circ.$$

Значит,

$$\angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Тогда и

$$\angle CDA=\angle BAD=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.