Упр.11.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: высота останкинской башни 537 м; радиус Земли 6370 км;
Найти: радиус горизонта с вершины башни;
Решение:
1) Обозначим Землю как окружность с центром в точке O и R=6370 км,
а вершину башни-как точку C;
2) Отметим точки A и B на пересечениях прямой OC и окружности;
3) Проведем касательную CD к данной окружности;
4) AB-диаметр окружности, значит: AB=2R=2•6370=12 740 км;
5) Отрезок AC представляет башню, значит AC=0,537 км, тогда
CB=AB+AC=12 740+0,537=12 740,537 км;
6) По доказанному в задаче 11.62

Подробный ответ

Обозначим Землю окружностью с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R=6370$$ км, а вершину башни — точкой $$C$$. Пусть прямая $$OC$$ пересекает окружность в точках $$A$$ и $$B$$, причём $$A$$ — ближайшая к вершине башни точка. Проведём касательную $$CD$$ к окружности; тогда $$CD$$ — радиус горизонта.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то

$$AB=2R=2\cdot 6370=12740\text{ км}.$$

Высота башни равна $$537$$ м $$=0{,}537$$ км, значит

$$AC=0{,}537\text{ км},$$

а потому

$$CB=AB+AC=12740+0{,}537=12740{,}537\text{ км}.$$

По результату задачи 11.62 для касательной к окружности из внешней точки:

$$CD^2=AC\cdot CB.$$

Тогда

$$ CD=\sqrt{AC\cdot CB} =\sqrt{0{,}537\cdot 12740{,}537} \approx \sqrt{6841{,}7} \approx 82{,}7\text{ км}. $$