Упр.11.63 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: самолет летит на высоте 4 км над Землей; радиус Земли 6370 км;
Найти: на каком расстоянии видно поверхность Земли из самолета;
Решение:
1) Обозначим Землю как окружность с центром в точке O и R=6370 км,
а самолет-как точку C;
2) Отметим точки A и B на пересечениях прямой OC и окружности;
3) Проведем касательную CD к данной окружности;
4) AB-диаметр окружности, значит: AB=2R=2•6370=12 740 км;
5) По условию AC=4 км, тогда: CB=AB+AC=12 740+4=12 744 км;
6) По доказанному в предыдущей задаче:
CD^2=AC•CB, отсюда CD=v(AC•CB);
CD=v(4•12 744)=2•v(12 744)=2•112,9=225,8 км;
Ответ: 225,8 км.

Подробный ответ

Обозначим Землю окружностью с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R=6370$$ км, а самолёт — точкой $$C$$. Проведём прямую $$OC$$, она пересечёт окружность в точках $$A$$ и $$B$$, причём $$A$$ — ближайшая к самолёту точка. Из точки $$C$$ проведём касательную $$CD$$ к окружности.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то

$$AB=2R=2\cdot 6370=12740\text{ км}.$$

По условию самолёт находится на высоте $$4$$ км над Землёй, значит

$$AC=4\text{ км},$$

а потому

$$CB=AB+AC=12740+4=12744\text{ км}.$$

По свойству касательной и секущей:

$$CD^2=AC\cdot CB.$$

Тогда

$$ CD=\sqrt{AC\cdot CB}=\sqrt{4\cdot 12744}=2\sqrt{12744}\approx 225{,}8\text{ км}. $$