Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 8-62. Докажите, что если $$\sin\alpha=\sin\beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
Рассмотрим углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ в пределах от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$.
1. Оба угла острые. Тогда при возрастании острого угла синус возрастает. Поэтому, если $$\alpha \ne \beta$$, то один из синусов был бы больше другого, что противоречит условию $$\sin \alpha = \sin \beta$$. Значит, в этом случае $$\alpha = \beta$$.
2. Один угол острый, другой тупой. Пусть, например, $$\alpha < 90^\circ$$, а $$\beta > 90^\circ$$. Тогда
$$\sin \beta = \sin(180^\circ-\beta).$$
Угол $$180^\circ-\beta$$ острый, и из равенства
$$\sin \alpha = \sin(180^\circ-\beta)$$
следует, что
$$\alpha = 180^\circ-\beta.$$
3. Оба угла тупые. Тогда
$$\sin \alpha = \sin(180^\circ-\alpha), \qquad \sin \beta = \sin(180^\circ-\beta).$$
Из условия $$\sin \alpha = \sin \beta$$ получаем
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(180^\circ-\beta).$$
Углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, а для острых углов равенство синусов означает равенство самих углов. Значит,
$$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$
откуда
$$\alpha=\beta.$$
Итак, если $$\sin \alpha = \sin \beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
