Упр.15.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром;
Объем сосуда равен V;
Найти: высоту цилиндрической части;
Решение:
1) Цилиндр и полушар имеют общее основание радиуса R;
2) Объем полушара равен половине объема шара:
V1=1/2•4/3•ПиR^3=2/3 ПиR^3;
3) Объем цилиндра равен разности объемов всего сосуда и шара:
V2=V-V1=V-2/3 ПиR^3;
4) Пусть высота цилиндра равна H, тогда: V2=ПиR^2 H;
5) Уравнивая правые части полученных равенств найдем H:
ПиR^2 H=V-2/3 ПиR^3,отсюда H=V/(ПиR^2 )-2/3 R;
Ответ: V/(ПиR^2 )-2/3 R.

Подробный ответ

Объём сосуда складывается из объёма полушара радиуса $$R$$ и объёма цилиндра с тем же радиусом основания $$R$$ и высотой $$H$$.

Объём полушара равен половине объёма шара:

$$V_{\text{п}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3.$$

Тогда объём цилиндрической части:

$$V_{\text{ц}}=V-V_{\text{п}}=V-\frac{2}{3}\pi R^3.$$

С другой стороны, объём цилиндра равен

$$V_{\text{ц}}=\pi R^2H.$$

Приравниваем:

$$\pi R^2H=V-\frac{2}{3}\pi R^3.$$

Отсюда

$$H=\frac{V}{\pi R^2}-\frac{2}{3}R.$$