Упр.15.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Радиусы оснований усечённого конуса $$R$$ и $$r$$, образующая наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$. Найдите объём.

Подробный ответ

Достроим усечённый конус до полного конуса с вершиной $$P$$. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований радиусов $$R$$ и $$r$$ соответственно. Тогда $$OP$$ — высота полного конуса, а $$O_1P$$ — высота отсечённой части.

Проведём образующую $$AP$$ полного конуса и рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOP$$. Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом $$45^\circ$$, то

$$\angle PAO=45^\circ.$$

Поскольку $$OP\perp AO$$, треугольник $$AOP$$ прямоугольный, значит

$$\angle AP O=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

следовательно, треугольник $$AOP$$ равнобедренный, и потому

$$OP=AO=R.$$

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $$P$$, значит, они подобны. Тогда

$$\frac{O_1P_1}{OP}=\frac{A_1O_1}{AO}=\frac{r}{R},$$

откуда

$$O_1P_1=r.$$

Объём усечённого конуса равен разности объёмов полного конуса и отсечённой части:

$$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot OP-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot O_1P_1 =\frac{1}{3}\pi R^3-\frac{1}{3}\pi r^3 =\frac{\pi}{3}(R^3-r^3).$$