Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: если cosa=cosбета, то a=бета;
Доказательство:
I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:
1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;
2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла cosa убывает, значит:
либо cosa < cosбета (если a > бета), либо cosбета < cosa (если бета > a);
3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит
наше допущение неверно и углы a и бета равны;
II) Случай, когда острый только один из углов невозможен, так как из
тождества cos(180°-a)=-cosa следует, что острый и тупые углы
имеют противоположные знаки;
III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:
1) По свойству косинуса любого угла от 0° до 180°:
cos(180°-a)=-cosa и cos(180°-бета)=-cosбета;
2) По условию cosa=cosбета, значит cos(180°-a)=cos(180°-бета);
3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,
а так как их косинусы равны, то и эти углы также равны, тогда:
180°-a=180°-бета, отсюда a=бета, что и требовалось доказать.
Рассмотрим возможные случаи для углов $$\alpha$$ и $$\beta$$.
1) Оба угла острые. Предположим, что $$\alpha \ne \beta$$. Тогда один из них больше другого. Но при возрастании острого угла косинус убывает, значит, большему углу соответствует меньший косинус. Получаем либо $$\cos \alpha < \cos \beta$$, либо $$\cos \beta < \cos \alpha$$, что противоречит условию $$\cos \alpha = \cos \beta$$. Следовательно, $$\alpha = \beta$$.
2) Один угол острый, другой тупой. Этот случай невозможен, так как у острого угла косинус положителен, а у тупого — отрицателен, поэтому равенство $$\cos \alpha = \cos \beta$$ не может выполняться.
3) Оба угла тупые. Тогда углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые. По формуле
$$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta$$
из условия $$\cos\alpha=\cos\beta$$ получаем
$$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(180^\circ-\beta).$$
Так как оба угла $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, а косинус строго убывает на промежутке от $$0^\circ$$ до $$90^\circ$$, то
$$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$
откуда
$$\alpha=\beta.$$
Во всех возможных случаях получаем $$\alpha=\beta$$.
Ответ
$$\alpha=\beta$$.
