Упр.14.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите площадь кругового сегмента с основанием $$a\sqrt{3}$$ и высотой $$\frac{a}{2}$$.

Пусть $$AB=a\sqrt{3}$$ — основание кругового сегмента, $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Проведём радиус $$OC$$ через середину $$H$$ хорды $$AB$$. Тогда $$OH\perp AB$$, а в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ отрезок $$OH$$ является и медианой, и высотой.

Имеем

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Высота сегмента равна $$CH=\frac{a}{2}$$, значит

$$OH=OC-CH=R-\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$AO^2=OH^2+AH^2,$$

$$R^2=\left(R-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-Ra+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4},$$

откуда

$$Ra=a^2,$$

следовательно,

$$R=a.$$

Теперь найдём угол $$\angle AOB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB,$$

$$3a^2=a^2+a^2-2a^2\cos\angle AOB,$$

$$\cos\angle AOB=-\frac{1}{2},$$

значит

$$\angle AOB=120^\circ.$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot \sin\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin120^\circ=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Площадь соответствующего кругового сектора:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{1}{3}\pi a^2.$$

Тогда площадь кругового сегмента равна

$$S=S_{\text{сектора}}-S_{AOB}=\frac{\pi a^2}{3}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$

Ответ: $$a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$