Упр.11.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Из точки C окружности проведён перпендикуляр CD к диаметру AB. Докажите, что $$CD^2=AD\cdot BD$$.

Так как точка $$C$$ лежит на окружности, а $$AB$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Поскольку $$CD \perp AB$$, то $$\angle ADC=90^\circ$$ и $$\angle CDB=90^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. У них

$$\angle ADC=\angle CDB=90^\circ,$$

а также $$\angle ACD=\angle CBD$$, так как оба эти угла дополняют до прямого угла угол $$ACB$$.

Следовательно, треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$ подобны.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}.$$

Перемножая крайние и средние члены, имеем:

$$CD^2=AD\cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.