Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

61. Докажите, что если $$\cos\alpha=\cos\beta$$, то $$\alpha=\beta$$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если оба угла $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то предположим, что $$\alpha \ne \beta$$. Тогда один из них больше другого. Но при возрастании острого угла косинус убывает, значит, большему углу соответствует меньший косинус. Получаем противоречие с условием $$\cos \alpha = \cos \beta$$. Следовательно, $$\alpha = \beta$$.

2. Случай, когда один угол острый, а другой тупой, невозможен. Действительно, для тупого угла $$\gamma$$ имеем $$\cos \gamma = -\cos(180^\circ-\gamma)$$, то есть косинус тупого угла отрицателен, а косинус острого угла положителен. Поэтому равенство $$\cos \alpha = \cos \beta$$ в этом случае невозможно.

3. Если оба угла тупые, то углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые. Тогда

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta.$$

   Из условия $$\cos\alpha=\cos\beta$$ следует, что

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(180^\circ-\beta).$$

   Но для острых углов равенство косинусов возможно только при равенстве самих углов, значит

   $$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$

   откуда $$\alpha=\beta$$.

Итак, если $$\cos \alpha = \cos \beta$$, то $$\alpha = \beta$$.