Упр.15.60 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны a;
Найти: объем полученного тела вращения;
Решение:
1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник, тогда:
AB=BC=CA=a;
2) Опустим высоту CO данного треугольника, она же будет являться
его медианой, тогда: AO=BO=a/2;
3) В прямоугольном треугольнике AOC по теореме Пифагора:
OC^2=AC^2-AO^2=a^2-a^2/4=(3a^2)/4;
4) Рассмотрим тело F полученное вращением треугольника ABC вокруг
стороны AB, оно представляет собой два конуса с общим основанием,
радиусом которого является отрезок OC, и равными высотами AO и BO,
значит объемы этих двух конусов равны;
5) Следовательно, объем тела F равен удвоенному объему одного из этих
конусов:
V=2•1/3•Пи•OC^2•OA=2/3 Пи•(3a^2)/4•a/2=(Пиa^3)/4;
Ответ: (Пиa^3)/4.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда

$$AB=BC=CA=a.$$

Опустим высоту $$CO$$. В равностороннем треугольнике она является также медианой, поэтому

$$AO=BO=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$ по теореме Пифагора:

$$ OC^2=AC^2-AO^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 =a^2-\frac{a^2}{4} =\frac{3a^2}{4}. $$

При вращении треугольника вокруг стороны $$AB$$ получается тело, состоящее из двух равных конусов с общим основанием радиуса $$OC$$ и высотами $$AO$$ и $$BO$$.

Тогда объём тела равен удвоенному объёму одного конуса:

$$ V=2\cdot \frac{1}{3}\pi OC^2\cdot AO =2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a}{2} =\frac{\pi a^3}{4}. $$