Упр.6.60 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AD=BC$$.

Проведём через вершину $$B$$ прямую, параллельную стороне $$AD$$, и обозначим точку её пересечения с лучом $$DC$$ через $$E$$.

Тогда четырёхугольник $$ABED$$ — параллелограмм, так как $$AB \parallel DE$$ и $$AD \parallel BE$$. Следовательно,

$$BE=AD.$$

По условию $$AD=BC$$, значит

$$BE=BC.$$

Следовательно, треугольник $$BCE$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle BCE=\angle BEC.$$

С другой стороны, $$AD \parallel BE$$, а точки $$D, E, C$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle ADE$$ и $$\angle BEC$$ равны как соответственные:

$$\angle ADE=\angle BEC.$$

Тогда

$$\angle BCE=\angle ADE.$$

А это и означает, что углы при основании равнобокой трапеции равны.