Упр.6.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны 3 см и 4 см. Чему равны расстояния от неё до двух других вершин? Объясните ответ.
2. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, если расстояния от этой точки до двух вершин равны $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см},$$ то до двух других вершин они тоже равны соответственно $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$

Ответ: $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$

Ход решения

2) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, а $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения прямой, проходящей через $$O,$$ со сторонами $$AB$$ и $$CD$$.

Рассмотрим треугольники $$EOA$$ и $$FOC.$$

Имеем:

• $$\angle EOA = \angle FOC$$ как вертикальные;
• $$\angle EAO = \angle FCO,$$ так как $$AB \parallel CD,$$ а диагональ $$AC$$ является секущей;
• $$AO = OC,$$ потому что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

Следовательно, $$\triangle EOA \cong \triangle FOC$$ по двум углам и заключённой между ними стороне. Отсюда

$$EO = OF.$$

Значит, точка $$O$$ делит отрезок, заключённый между параллельными сторонами, пополам.