Упр.12.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 м.

Подробный ответ

Обозначим данный треугольник $$ABC$$, где $$AC=4\text{ м}$$, $$BC=5\text{ м}$$, $$AB=6\text{ м}$$.

Опустим высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$. Тогда отрезки $$AD$$ и $$DB$$ являются проекциями сторон $$AC$$ и $$BC$$ на прямую, содержащую сторону $$AB$$.

Найдём $$DB$$. По теореме косинусов для треугольника $$CBD$$:

$$BC^2=BD^2+CD^2$$

А для треугольника $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot DB$$

Отсюда

$$DB=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB}=\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot 6}=\frac{45}{12}=3{,}75\text{ м}.$$

Теперь найдём $$AD$$:

$$AD=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB}=\frac{6^2+4^2-5^2}{2\cdot 6}=\frac{27}{12}=2{,}25\text{ м}.$$

Следовательно, проекции сторон $$4\text{ м}$$ и $$5\text{ м}$$ на прямую, содержащую сторону $$6\text{ м}$$, равны соответственно $$2{,}25\text{ м}$$ и $$3{,}75\text{ м}$$.