Упр.5.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — треугольник, а $$a$$ и $$b$$ — серединные перпендикуляры к его сторонам $$AC$$ и $$BC$$.

Предположим, что прямые $$a$$ и $$b$$ не пересекаются. Тогда они параллельны.

Так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$, то $$a \perp AC$$. Аналогично, $$b \perp BC$$.

Если $$a \parallel b$$, то прямая $$AC$$, перпендикулярная $$a$$, будет перпендикулярна и $$b$$. Но тогда и $$BC \perp b$$. Значит, две прямые $$AC$$ и $$BC$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$b$$, следовательно, $$AC \parallel BC$$.

Это невозможно, так как стороны треугольника $$ABC$$ не могут быть параллельны. Получили противоречие.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются.