Вопрос 6 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, у которой $$AB=a$$, $$CD=b$$, а высота равна $$h$$.

Проведём диагональ $$AC$$. Она разбивает трапецию на два треугольника $$ABC$$ и $$ACD$$, поэтому

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Опустим перпендикуляры $$CE$$ на прямую $$AB$$ и $$AF$$ на прямую $$CD$$. Тогда $$CE=AF=h$$, так как это расстояние между параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CE=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot AF=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(a+b)h.$$

Итак, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.