Вопрос 6 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Выведите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — данный выпуклый многоугольник, где $$n>3$$.

Проведём из вершины $$A_1$$ диагонали $$A_1A_3,\,A_1A_4,\,\dots,\,A_1A_{n-1}$$. Тогда многоугольник разобьётся на $$n-2$$ треугольника:

$$\triangle A_1A_2A_3,\ \triangle A_1A_3A_4,\ \dots,\ \triangle A_1A_{n-1}A_n.$$

Сумма углов исходного многоугольника равна сумме углов всех этих треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна $$180^\circ$$, значит, сумма углов выпуклого $$n$$-угольника равна

$$180^\circ\cdot(n-2).$$

Ответ: $$180^\circ\cdot(n-2)$$.