Вопрос 6 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: равные векторы одинаково направлены и равны по
абсолютной величине и обратно: одинаково направленные векторы,
равные по абсолютной величине, равны;
Доказательство:
1) Пусть векторы (AB) и (CD) равны, значит существует параллельный
перенос вектора (AB) при котором точка A совпадает с точкой C, а точка B
совпадает с точкой D;
2) Точки A и B перемещяются одним параллельным переносом, значит:
AC||BD и AC=BD;
3) Тогда четырехугольник ABDC является параллелограммом, отсюда:
AB||CD и AB=CD;
4) Так как AB=CD, то модули векторов (AB) и (CD) равны;
5) Прямые AB и CD параллельны, а точки B и D находятся по одну
сторону от секущей AC, значит лучи AB и CD одинаково направленны
(задача 9.32), следовательно и векторы (AB) и (CD) одинаково направлены,
что и требовалось доказать.
6) Обратно: пусть (AB) и (CD) -одинаково направленные векторы, равные
по абсолютной величине;
7) Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает
полупрямую CD с полупрямой AB (так как они одинаково направлены);
8) Длины отрезков AB и CD равны, значит при этом точка D совмещается
с точкой B;
9) Таким образом, такой параллельный перенос переводит вектор (CD) в
вектор (AB), следовательно эти векторы равны, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$ Тогда существует параллельный перенос, при котором точка $$A$$ переходит в точку $$C$$, а точка $$B$$ — в точку $$D$$.

При параллельном переносе отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$CD$$, значит

$$AB \parallel CD,\qquad AB=CD.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ имеют равные длины, то есть равны по абсолютной величине:

$$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|.$$

Кроме того, так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от секущей $$AC$$, то лучи $$AB$$ и $$CD$$ одинаково направлены. Значит, одинаково направлены и векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.

Обратно, пусть векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Рассмотрим параллельный перенос, переводящий точку $$C$$ в точку $$A$$. Тогда полупрямая $$CD$$ совместится с полупрямой $$AB$$, а так как

$$AB=CD,$$

то точка $$D$$ совместится с точкой $$B$$. Значит, этот параллельный перенос переводит вектор $$\overrightarrow{CD}$$ в вектор $$\overrightarrow{AB}$$, следовательно,

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$

Итак, равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, и обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.