Упр.9.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точка X при преобразовании симметрии относительно некторой
точки переходит в точку X’;
Построить: точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y;
Построение:
1) Пусть X, X’ и Y-данные точки.
2) Найдем точку O-середину отрезка XX’, для этого:
— Из точек X и X’ проведем окружности равного радиуса XX’;
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей, эта
прямая является серединным перпендикуляром отрезка XX’;
— Отметим точку O на пересечении этого перпендикуляра и отрезка XX’;
3) O-точка, относительно которой происходит преобразование
симметрии (так как точки X, O и X’ лежат на одной прямой и OX=OX’);
4) Проведем прямую YO;
5) Из точки O построим окружность радиуса OY и отметим точку Y’ на
пересечении этой окружности и прямой OY;
6) Так как точки Y, O и Y’ лежат на одной прямой и OY=OY’, то точка Y’
симметрична точке Y относительно точки O.

Подробный ответ

При центральной симметрии относительно точки $$O$$ эта точка является серединой отрезка, соединяющего любую точку с её образом.

Так как точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$, то точка $$O$$ — середина отрезка $$XX’$$.

Проведём прямую $$YO$$ и отложим на ней по другую сторону от точки $$O$$ отрезок $$OY’$$, равный $$OY$$. Тогда точки $$Y, O, Y’$$ лежат на одной прямой и $$OY=OY’$$, значит, $$Y’$$ — образ точки $$Y$$ при данной симметрии.

Следовательно, искомая точка строится как точка, симметричная $$Y$$ относительно точки $$O$$.