Вопрос 6 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Пусть $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$ Тогда существует параллельный перенос, при котором точка $$A$$ переходит в точку $$C$$, а точка $$B$$ — в точку $$D$$.
При параллельном переносе отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$CD$$, значит
$$AB \parallel CD,\qquad AB=CD.$$
Следовательно, $$ABDC$$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ имеют одинаковое направление, а их длины равны:
$$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|.$$
Обратно, пусть векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Тогда $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$. Параллельный перенос, переводящий точку $$C$$ в точку $$A$$, совмещает луч $$CD$$ с лучом $$AB$$. Так как длины отрезков равны, точка $$D$$ перейдёт в точку $$B$$. Значит, этот перенос переводит вектор $$\overrightarrow{CD}$$ в вектор $$\overrightarrow{AB}$$, то есть
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$
Итак, равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, и обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
