Упр.6.59 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: боковая линия трапеции разделена на три равные части и через
точки деления проведены отрезки параллельные основанию;
Найти: длины этих отрезков;
1) Пусть ABCD-данная трапеция, у которой AD=5 м и BC=2 м,
точки E и F делят ее сторону AB на три равные части, а отрезки EE1 и
FF1 параллельны основаниям AD и BC;
2) Прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке, значит они
являются сторонами некоего угла, прямые BC, FF1, EE1 и AD параллельны
друг другу, тогда по теореме Фалеса: CF1=F1 E1=E1 D;
3) Рассмотрим трапецию AFF1 D:
AE=EF и DE1=E1 F1, следовательно EE1-средняя линия AEE1 D,
отсюда EE1=1/2 (FF1+AD);
4) Рассмотрим трапецию EE1 CD:
EF=FB и E1 F1=F1 C, следовательно FF1-средняя линия EE1 CD,
отсюда FF1=1/2 (EE1+BC);
5) Пусть EE1=x и FF1=y, тогда:
x=1/2 (y+5) и y=1/2 (x+2) = > x=1/2•(1/2•(x+2)+5);
x=1/2•(1/2 x+1+5) = > x=1/4 x+3;
3/4 x=3, отсюда x=(3•4)/3=4 м;
y=1/2 (4+2)=1/2•6=3 м;
6) EE1=4 м и FF1=3 м;
Ответ: 3 м и 4 м.

Подробный ответ

Обозначим основания трапеции через $$AD=5\text{ м}$$ и $$BC=2\text{ м}$$. Пусть точки $$E$$ и $$F$$ делят боковую сторону $$AB$$ на три равные части, а через них проведены отрезки $$EE_1$$ и $$FF_1$$, параллельные основаниям.

Так как $$BC \parallel FF_1 \parallel EE_1 \parallel AD$$, то по теореме Фалеса точки деления на боковых сторонах соответствуют равным частям. Поэтому в трапеции $$AFF_1D$$ отрезок $$EE_1$$ является средней линией, а в трапеции $$EE_1CD$$ отрезок $$FF_1$$ также является средней линией.

Следовательно,

$$EE_1=\frac{FF_1+AD}{2}, \qquad FF_1=\frac{EE_1+BC}{2}.$$

Обозначим $$EE_1=x$$, $$FF_1=y$$. Тогда

$$x=\frac{y+5}{2}, \qquad y=\frac{x+2}{2}.$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$ x=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{2}+5\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}+1+5\right) =\frac{1}{4}x+3. $$

Тогда

$$ x-\frac{1}{4}x=3,\qquad \frac{3}{4}x=3,\qquad x=4. $$

Теперь найдём $$y$$:

$$ y=\frac{x+2}{2}=\frac{4+2}{2}=3. $$

Значит, длины искомых отрезков равны $$4\text{ м}$$ и $$3\text{ м}$$.