Упр.6.59 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.

Пусть $$x=EE_1,$$ $$y=FF_1.$$

Так как отрезки $$EE_1$$ и $$FF_1$$ параллельны основаниям трапеции, то они делят боковые стороны в одинаковом отношении. Поэтому длины параллельных оснований и этих отрезков образуют арифметическую прогрессию:

$$5,\ x,\ y,\ 2.$$

Но точки деления делят боковую сторону на три равные части, значит соответствующие параллельные отрезки находятся на равных расстояниях между основаниями. Тогда

$$x=\frac{5+y}{2}, \qquad y=\frac{x+2}{2}.$$

Подставим второе равенство в первое:

$$x=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{2}+5\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}+1+5\right) =\frac{x}{4}+3.$$

Тогда

$$x-\frac{x}{4}=3,\qquad \frac{3}{4}x=3,\qquad x=4.$$

Теперь найдём $$y$$:

$$y=\frac{x+2}{2}=\frac{4+2}{2}=3.$$

Следовательно, длины искомых отрезков равны $$4$$ м и $$3$$ м.

Ответ: $$3$$ м и $$4$$ м.