Упр.11.59 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 59. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведёнными к концам хорды (рис. 264, б).

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AC$$ — хорда, а $$CD$$ — касательная к окружности в точке $$C$$.

Так как $$AO$$ и $$OC$$ — радиусы одной окружности, то $$AO=OC$$. Следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle ACO=\angle OAC=\frac{180^\circ-\angle AOC}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$\angle DCO=90^\circ.$$

Тогда острый угол между хордой $$CA$$ и касательной $$CD$$ равен

$$\angle DCA=\angle DCO-\angle ACO=90^\circ-\left(90^\circ-\frac{1}{2}\angle AOC\right)=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Что и требовалось доказать.