Упр.15.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого $$9\ \text{м}^2$$. Найдите объём конуса.

Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$R$$ — радиус основания, $$H$$ — высота конуса, $$AB$$ — диаметр основания.

Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник $$APB$$, причём $$PO \perp AB$$, а точка $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$. Значит, в прямоугольном треугольнике $$APB$$ точка $$O$$ является центром описанной окружности, поэтому

$$PO=AO=BO=R.$$

По условию площадь осевого сечения равна $$9\text{ м}^2$$. Тогда

$$S_{APB}=\frac12\cdot AB\cdot PO =\frac12\cdot 2R\cdot R =R^2.$$

Следовательно,

$$R^2=9,\qquad R=3\text{ м}.$$

Так как $$H=PO=R$$, то

$$H=3\text{ м}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac13\pi R^2H =\frac13\pi\cdot 3^2\cdot 3 =9\pi\text{ м}^3.$$

Ответ: $$9\pi\text{ м}^3$$.