Упр.11.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 264, а).
Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$\angle AMB=\alpha$$ — заданный угол.
Проведём дугу окружности с концами в точках $$A$$ и $$B$$ и возьмём на ней точку $$M$$. Тогда по теореме об вписанном угле
$$\angle AMB=\frac12\angle AOB=\alpha,$$
где $$O$$ — центр окружности.
Докажем, что других точек, удовлетворяющих условию, нет.
Пусть точка $$X$$ лежит внутри данной дуги и $$\angle AXB=\alpha$$. Прямые $$AX$$ и $$BX$$ пересекают окружность в точках $$P_1$$ и $$P_2$$. Тогда по теореме о внешнем и внутреннем углах, образованных хордами,
$$\angle AXB=\frac12\angle AOB-\frac12\angle P_1OP_2.$$
Так как $$\angle P_1OP_2\ne 0$$, то $$\angle AXB\ne \frac12\angle AOB=\alpha$$. Противоречие.
Пусть теперь точка $$Y$$ лежит вне данной дуги и $$\angle AYB=\alpha$$. Прямые $$AY$$ и $$BY$$ пересекают окружность в точках $$K_1$$ и $$K_2$$. Тогда
$$\angle AYB=\frac12\angle AOB+\frac12\angle K_1OK_2.$$
Поскольку $$\angle K_1OK_2\ne 0$$, получаем $$\angle AYB\ne \frac12\angle AOB=\alpha$$. Снова противоречие.
Следовательно, все точки, из которых отрезок $$AB$$ виден под заданным углом $$\alpha$$ и которые лежат по одну сторону от прямой $$AB$$, принадлежат одной и той же дуге окружности с концами в точках $$A$$ и $$B$$. Что и требовалось доказать.
