Упр.15.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник,
площадь которого равна 9 м^2;
Найти: объем конуса;
Решение:
1) Пусть P-вершина данного конуса, O-центр его основания,
R-радиус основания, H-высота конуса и AB-диаметр основания;
2) Тогда: AO=OB=R, AB=2R, угол APB=90°, AP=PB и PO=H;
3) Точка O-середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника APB, значит
она является центром описанной около него окружности, то есть:
PO=AO=OB=R;
Ответ: 9Пи м^3.

Подробный ответ

Осевое сечение конуса — равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим вершину конуса через $$P$$, центр основания — через $$O$$, радиус основания — через $$R$$, высоту — через $$H$$, а диаметр основания — через $$AB$$.

Тогда $$AO=OB=R$$, $$AB=2R$$, $$PO=H$$, а в осевом сечении $$\angle APB=90^\circ$$ и $$AP=PB$$.

Так как в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, то точка $$O$$ — середина $$AB$$. Значит,

$$PO=AO=OB=R.$$

По условию площадь осевого сечения равна $$9\ \text{м}^2$$. Тогда

$$ S_{APB}=\frac12\cdot AB\cdot PO=9 $$

Подставим $$AB=2R$$ и $$PO=R$$:

$$ \frac12\cdot 2R\cdot R=9 $$

$$ R^2=9,\quad R=3\ \text{м}. $$

Следовательно, $$H=PO=3\ \text{м}$$. Теперь найдём объём конуса:

$$ V=\frac13\pi R^2H=\frac13\pi\cdot 3^2\cdot 3=9\pi\ \text{м}^3. $$