Упр.7.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Радиус окружности равен $$5\ \text{м}$$. Из точки, отстоящей от центра на $$13\ \text{м}$$, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$A$$ — данная точка, а $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$OA=13$$ м, $$OB=OC=5$$ м.

По свойству касательной радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$OB\perp AB,\qquad OC\perp AC.$$

Треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ прямоугольные, у них общий гипотенуза $$AO$$ и равные катеты $$OB=OC$$. Следовательно, они равны, поэтому $$AB=AC$$, а прямая $$AO$$ делит угол между касательными пополам.

Найдём длину касательной $$AB$$ из прямоугольного треугольника $$AOB$$:

$$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ м}.$$

Теперь найдём угол $$\angle BAO$$:

$$\sin \angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{5}{13}.$$

Отсюда $$\angle BAO \approx 22^\circ 37’$$. Тогда угол между касательными равен

$$\angle BAC=2\angle BAO\approx 2\cdot 22^\circ 37’=45^\circ 14′.$$

Ответ: $$12$$ м; $$45^\circ 14’$$.