Упр.6.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac12 AC.$$

Аналогично, $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, поэтому

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac12 BD.$$

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $$AC=BD$$. Следовательно,

$$EF=FG.$$

По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм. У параллелограмма, у которого две соседние стороны равны, все стороны равны, значит $$EFGH$$ — ромб.

Теперь пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Тогда $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, поэтому

$$EF \parallel AC.$$

Аналогично, $$FG$$ — средняя линия треугольника $$CBD$$, значит

$$FG \parallel BD.$$

В ромбе диагонали перпендикулярны, то есть $$AC \perp BD$$. Следовательно,

$$EF \perp FG.$$

По задаче 55 четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм. Если у параллелограмма один угол прямой, то он является прямоугольником. Значит, $$EFGH$$ — прямоугольник.

Ответ: середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, а середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.