Упр.8.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1) sin альфа = 0,6, 0° < альфа < 90°; 2) sin альфа = 1/корень 2, 90° < альфа < 180°; 3) sin альфа = 0° < альфа < 180°.

Используем тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ откуда

$$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}.$$

Знак выбираем по промежутку, в котором лежит угол. Затем находим

$$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1) Если $$\sin\alpha=0{,}6=\frac35,$$ $$0^\circ<\alpha<90^\circ,$$ то $$\cos\alpha>0.$$

$$ \cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =\sqrt{1-\frac{9}{25}} =\sqrt{\frac{16}{25}} =\frac45. $$

$$ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\frac45}{\frac35} =\frac43. $$

2) Если $$\sin\alpha=\frac1{\sqrt2},$$ $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то $$\cos\alpha<0.$$

$$ \cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac12} =-\sqrt{\frac12} =-\frac1{\sqrt2} =-\frac{\sqrt2}{2}. $$

$$ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{-\frac1{\sqrt2}}{\frac1{\sqrt2}} =-1. $$

3) Если $$\sin\alpha=\frac1{\sqrt2},$$ $$0^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то возможны два случая:

• при $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ имеем $$\cos\alpha=\frac1{\sqrt2},\quad \ctg\alpha=1;$$
• при $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$ имеем $$\cos\alpha=-\frac1{\sqrt2},\quad \ctg\alpha=-1.$$

Ответ

1) $$\cos\alpha=\frac45,\ \ctg\alpha=\frac43.$$

2) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\ \ctg\alpha=-1.$$

3) $$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt2}{2},\ \ctg\alpha=\pm1.$$