Упр.15.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объёмов цилиндров.

Пусть $$a$$ — сторона основания правильной треугольной призмы. Тогда основанием цилиндра, описанного около призмы, является окружность, описанная около равностороннего треугольника, а основанием цилиндра, вписанного в призму, — окружность, вписанная в этот треугольник.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$:

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Высоты цилиндров одинаковы, поэтому отношение их объёмов равно отношению площадей оснований:

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^2H}{\pi r^2H}=\frac{R^2}{r^2} =\left(\frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})}\right)^2=2^2=4.$$

Ответ: $$4:1$$.