Упр.14.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около треугольника.

Пусть $$a$$ — сторона равностороннего треугольника, $$R$$ — радиус описанного круга, $$r$$ — радиус вписанного круга.

Для равностороннего треугольника

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}},$$
$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Тогда отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:

$$\frac{S_{\text{вп}}}{S_{\text{оп}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{r}{R}\right)^2=\left(\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{3}}}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Ответ: $$\frac14$$.