Упр.11.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки. Обозначим через $$O$$ середину отрезка $$AB$$.

Возьмём любую точку $$M$$, для которой $$\angle AMB=90^\circ$$. Тогда треугольник $$AMB$$ прямоугольный, а отрезок $$AB$$ является его гипотенузой.

Так как $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то $$MO$$ — медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе. По свойству такой медианы

$$MO=AO=BO.$$

Значит, все точки $$M$$, удовлетворяющие условию, находятся на одинаковом расстоянии от точки $$O$$. Следовательно, геометрическое место этих точек — окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$AO$$.

Итак, геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность.