Упр.8.57 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите $$\cos\alpha$$ и $$\operatorname{ctg}\alpha$$, если:

1. $$\sin\alpha=0{,}6$$, $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$;
2. $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$$, $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$;
3. $$\sin\alpha=0^\circ<\alpha<180^\circ$$.

Используем тождества $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$ и $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

1. Если $$\sin\alpha=0{,}6=\frac{3}{5}$$ и $$0^\circ<\alpha<90^\circ,$$ то $$\cos\alpha>0.$$

   $$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.$$

2. Если $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ и $$90^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то $$\cos\alpha<0.$$

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{1}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{-\sqrt{2}/2}{1/\sqrt{2}}=-1.$$

3. Если $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ и $$0^\circ<\alpha<180^\circ,$$ то возможны два случая: $$\alpha$$ острый или тупой. Поэтому знак $$\cos\alpha$$ не определён однозначно.

   $$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\pm\sqrt{2}/2}{1/\sqrt{2}}=\pm1.$$

Ответ: 1) $$\cos\alpha=\frac{4}{5},\ \ctg\alpha=\frac{4}{3};$$ 2) $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ctg\alpha=-1;$$ 3) $$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ctg\alpha=\pm1.$$