Упр.15.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объём увеличился в $$n$$ раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объём увеличился в $$n$$ раз?

Объём цилиндра вычисляется по формуле

$$V=\pi R^2H,$$

где $$R$$ — радиус основания, $$H$$ — высота цилиндра.

Пусть объём увеличился в $$n$$ раз.

Если основание не меняется, то $$R$$ остаётся прежним, и тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=n \Rightarrow \frac{\pi R^2H_2}{\pi R^2H_1}=n \Rightarrow \frac{H_2}{H_1}=n.$$

Значит, высоту нужно увеличить в $$n$$ раз.

Если высота не меняется, то $$H$$ остаётся прежней, и тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=n \Rightarrow \frac{\pi R_2^2H}{\pi R_1^2H}=n \Rightarrow \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2=n.$$

Отсюда

$$\frac{R_2}{R_1}=\sqrt{n},$$

то есть радиус основания нужно увеличить в $$\sqrt{n}$$ раз.

Ответ: 1) в $$n$$ раз; 2) в $$\sqrt{n}$$ раз.