Упр.8.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1) cos альфа = 1/3;
2) cos альфа = -0,5;
3) cos альфа = корень 2/2;
4) cos альфа = — корень 3/2.

Используем тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ откуда

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}.$$

Также

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$$

1) Если $$\cos\alpha=\frac13,$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\sqrt2}{3}:\frac13=2\sqrt2.$$

2) Если $$\cos\alpha=-0{,}5=-\frac12,$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac12\right)^2}=\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt3}{2}:\left(-\frac12\right)=-\sqrt3.$$

3) Если $$\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2},$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac24}=\sqrt{\frac24}=\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt2}.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1.$$

4) Если $$\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},$$ то

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac34}=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$

Тогда

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac12:\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac1{\sqrt3}.$$

Ответ

1) $$\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3},\ \tg\alpha=2\sqrt2$$

2) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\ \tg\alpha=-\sqrt3$$

3) $$\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2},\ \tg\alpha=1$$

4) $$\sin\alpha=\frac12,\ \tg\alpha=-\frac1{\sqrt3}$$