Упр.14.56 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника.
Пусть $$R$$ — радиус круга. Тогда площадь круга равна
$$S_{\text{круга}}=\pi R^2.$$
Для правильного $$n$$-угольника, вписанного в этот круг, соединим центр круга с двумя соседними вершинами. Получим равнобедренный треугольник с центральным углом
$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$
Площадь одного такого треугольника:
$$S_{AOB}=\frac12 R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$
Тогда площадь всего правильного $$n$$-угольника:
$$S_n=n\cdot S_{AOB}=\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}.$$
Искомое отношение:
$$\frac{S_{\text{круга}}}{S_n}=\frac{\pi R^2}{\frac{nR^2}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}}=\frac{2\pi}{n\sin\frac{360^\circ}{n}}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
Для квадрата $$n=4$$:
$$\frac{S_{\text{круга}}}{S_4}=\frac{2\pi}{4\sin 90^\circ}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$
Для правильного треугольника $$n=3$$:
$$\frac{S_{\text{круга}}}{S_3}=\frac{2\pi}{3\sin 120^\circ}=\frac{2\pi}{3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}.$$
Для правильного шестиугольника $$n=6$$:
$$\frac{S_{\text{круга}}}{S_6}=\frac{2\pi}{6\sin 60^\circ}=\frac{2\pi}{6\cdot \frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}.$$
Ответ: 1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{4\pi}{3\sqrt3}$$; 3) $$\frac{2\pi}{3\sqrt3}$$.
