Упр.15.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Шар радиуса $$R$$ вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $$\alpha$$. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований усечённого конуса, а $$O$$ — центр вписанного шара.

Так как шар касается обоих оснований, то точка $$O$$ лежит на оси конуса и

$$OO_1=OO_2=R,\qquad O_1O_2=2R.$$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Получим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где

$$AB=CD=l,$$

$$AD=2R_2,\qquad BC=2R_1,$$

а угол наклона образующей к плоскости нижнего основания равен

$$\angle BAD=\angle CDA=\alpha.$$

Проведём высоту $$BH$$ трапеции $$ABCD$$. Тогда, поскольку $$AD\parallel BC$$, а $$O_1O_2$$ — ось конуса, имеем прямоугольник $$O_2HBO_1$$, откуда

$$BH=O_1O_2=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{2R}{l},$$

следовательно,

$$l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Теперь найдём радиусы оснований.

Точка $$O$$ — центр окружности, вписанной в трапецию $$ABCD$$, значит, она лежит на биссектрисах углов трапеции. Поэтому

$$\angle OAO_2=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AO_2O$$:

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{OO_2}{AO_2}=\frac{R}{R_2},$$

откуда

$$R_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Аналогично, для угла при вершине $$B$$:

$$\angle ABC=180^\circ-\alpha,\qquad \angle O_1BO=\frac{1}{2}\angle ABC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BO_1O$$:

$$\tan\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{OO_1}{BO_1}=\frac{R}{R_1}.$$

Так как $$\tan\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\cot\frac{\alpha}{2},$$ то

$$R_1=R\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Итак, радиусы оснований и образующая усечённого конуса равны:

$$R_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\qquad R_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\qquad l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Ответ: $$R_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\; R_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\; l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$