Упр.6.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: середины сторон четырехугольника являются вершинами
параллелограмма;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный четырехугольник и E, F, G, H-середины его
сторон;
2) Отрезок EF-средняя линия треугольника ABC, отсюда EF||AC;
3) Отрезок GH-средняя линия треугольника ADC, отсюда GH||AC;
4) Таким образом, противолежащие стороны EF и HG четырехугольника
EFGH параллельны;
5) Аналогично доказывается параллельность сторон FG и EH, значит
четырехугольник EFGH-параллелограмм (по определению), что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$EF \parallel AC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Точки $$H$$ и $$G$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$, значит, $$HG$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Следовательно,

$$HG \parallel AC.$$

Отсюда $$EF \parallel HG$$.

Аналогично, в треугольниках $$BCD$$ и $$BAD$$ получаем:

$$FG \parallel BD,$$

$$EH \parallel BD,$$

значит, $$FG \parallel EH.$$

Итак, у четырёхугольника $$EFGH$$ обе пары противоположных сторон попарно параллельны, следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.