Упр.15.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 55. Шар радиуса R вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-55 76

Обозначим через $$O_1$$ и $$O_2$$ центры верхнего и нижнего оснований усечённого конуса, а через $$O$$ — центр вписанного шара. Тогда $$O$$ лежит на оси конуса, поэтому

$$OO_1=OO_2=R,\qquad O_1O_2=2R.$$

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Получим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, $$AB=CD=l$$, $$\angle BAD=\alpha$$.

Проведём высоту $$BH$$ трапеции. Так как $$O_1O_2$$ — ось, а точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединах оснований, то в осевом сечении отрезок $$BH$$ равен расстоянию между основаниями, то есть

$$BH=O_1O_2=2R.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем

$$\sin \alpha=\frac{BH}{AB}.$$

Отсюда образующая усечённого конуса

$$l=AB=\frac{BH}{\sin \alpha}=\frac{2R}{\sin \alpha}.$$

Теперь найдём радиусы оснований. Центр шара равноудалён от сторон трапеции, значит он лежит на биссектрисе угла $$\angle BAD$$. Поэтому

$$\angle OAO_2=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AO_2O$$

$$\tan \angle OAO_2=\frac{OO_2}{AO_2}.$$

Так как $$OO_2=R$$, получаем радиус большего основания:

$$R_2=AO_2=\frac{R}{\tan \frac{\alpha}{2}}=R\ctg \frac{\alpha}{2}.$$

Аналогично для угла при вершине $$B$$:

$$\angle ABC=180^\circ-\alpha,\qquad \angle O_1BO=\frac{1}{2}\angle ABC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BO_1O$$

$$\tan \angle O_1BO=\frac{OO_1}{BO_1}.$$

Так как $$OO_1=R$$, то радиус меньшего основания равен

$$R_1=BO_1=\frac{R}{\tan\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)}=R\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Итак, радиусы оснований и образующая усечённого конуса равны:

$$R_1=R\tg \frac{\alpha}{2},\qquad R_2=R\ctg \frac{\alpha}{2},\qquad l=\frac{2R}{\sin \alpha}.$$

Ответ

$$R_1=R\tg \frac{\alpha}{2},\quad R_2=R\ctg \frac{\alpha}{2},\quad l=\frac{2R}{\sin \alpha}.$$