Упр.11.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. Чему равен угол $$\angle ADC$$, если угол $$\angle ABC = a$$? (Два случая.)

Вписанный угол $$\angle ABC$$ опирается на дугу $$AC$$. Угол $$\angle ADC$$ тоже опирается на дугу $$AC$$, но возможны два случая расположения точек $$B$$ и $$D$$ относительно прямой $$AC$$.

1. Если точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$, то они опираются на одну и ту же дугу $$AC$$. Тогда вписанные углы равны:

   $$\angle ADC=\angle ABC=a.$$

2. Если точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$, то соответствующие центральные углы дополняют друг друга до $$360^\circ$$. Поэтому

   $$\angle ABC=\frac12\angle AOC,$$

   а значит

   $$\angle ADC=\frac12(360^\circ-\angle AOC)=180^\circ-\frac12\angle AOC.$$

   Так как $$\angle ABC=\frac12\angle AOC=a,$$ получаем

   $$\angle ADC=180^\circ-a.$$

Ответ: $$a$$ или $$180^\circ-a$$.