Упр.6.55 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$E, F, G, H$$ — середины его сторон.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины его сторон, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$EF \parallel AC.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Точки $$H$$ и $$G$$ — середины его сторон, значит, $$HG$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$HG \parallel AC.$$

Следовательно, $$EF \parallel HG$$.

Аналогично, в треугольниках $$BCD$$ и $$BAD$$ получаем

$$FG \parallel BD,$$

$$EH \parallel BD,$$

значит, $$FG \parallel EH$$.

Итак, у четырёхугольника $$EFGH$$ обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.