Упр.15.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга? Большим кругом называется сечение шара плоскостью, проходящей через его центр.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр сечения, $$R$$ — радиус шара, $$r$$ — радиус полученного сечения.

Так как плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему, то $$OO_1=\frac{R}{2}$$. Радиус $$AO$$ шара перпендикулярен плоскости сечения, значит в треугольнике $$OO_1A$$ угол при $$O_1$$ прямой.

По теореме Пифагора:

$$r^2=AO_1^2=OA^2-OO_1^2=R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}.$$

Площадь сечения равна $$\pi r^2$$, а площадь большого круга равна $$\pi R^2$$. Тогда

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{б.к.}}} =\frac{\pi r^2}{\pi R^2} =\frac{r^2}{R^2} =\frac{3}{4}.$$

Ответ: $$3:4$$.