Упр.14.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите площадь кругового кольца (рис. 311), заключённого между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м; 3) $$a$$ и $$b$$, $$a>b$$.

Пусть $$r$$ — радиус внутренней, а $$R$$ — радиус внешней окружности. Тогда площадь кругового кольца равна разности площадей большого и малого кругов:

$$S=\pi R^2-\pi r^2=\pi\,(R^2-r^2).$$

1. Если $$r=4\text{ см}$$ и $$R=6\text{ см}$$, то

   $$S=\pi\,(6^2-4^2)=\pi\,(36-16)=20\pi\text{ см}^2.$$

2. Если $$r=5{,}5\text{ м}$$ и $$R=6{,}5\text{ м}$$, то

   $$r=\frac{11}{2},\qquad R=\frac{13}{2},$$

   $$S=\pi\left(\left(\frac{13}{2}\right)^2-\left(\frac{11}{2}\right)^2\right)=\pi\cdot\frac{169-121}{4}=\pi\cdot\frac{48}{4}=12\pi\text{ м}^2.$$

3. Если $$r=b$$ и $$R=a$$, где $$a>b$$, то

   $$S=\pi\,(a^2-b^2).$$

Ответ: 1) $$20\pi\text{ см}^2$$; 2) $$12\pi\text{ м}^2$$; 3) $$\pi(a^2-b^2)$$.