Упр.6.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: вершины треугольника равноудалены от прямой,
прохоящей через середины его сторон;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, а точки A1 и C1 середины его
сторон BC и AB;
2) Так как AC1=C1 B и BA1=A1 C, то отрезок C1 A1-является средней
линией треугольника ABC, отсюда следует, что прямые AC и A1 C1
параллельны, значит точки A и C равноудалены от прямой A1 C1;
3) Из точек A и B опустим перпендикуляры AH1 и BH2 на прямую A1 C1;
4) Углы AC1 H1 и BC1 H2 равны как вертикальные;
5) Прямоугольные треугольники AH1 C1 и BC1 H2 равны по гипотенузе
и острому углу, отсюда AH1=BH2;
6) Таким образом, все три вершины треугольника ABC равноудалены
от прямой A1 C1, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, а точки $$A_1$$ и $$C_1$$ — середины его сторон $$BC$$ и $$AB$$.

Так как $$AC_1=C_1B$$ и $$BA_1=A_1C$$, то отрезок $$A_1C_1$$ является средней линией треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$A_1C_1 \parallel AC$$.

Значит, точки $$A$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$A_1C_1$$.

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим перпендикуляры $$AH_1$$ и $$BH_2$$ на прямую $$A_1C_1$$.

Углы $$\angle AC_1H_1$$ и $$\angle BC_1H_2$$ равны как вертикальные. Кроме того, $$AC_1=C_1B$$, а треугольники $$AH_1C_1$$ и $$BC_1H_2$$ прямоугольные.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$AH_1C_1$$ и $$BC_1H_2$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$AH_1=BH_2$$.

Итак, все три вершины треугольника $$ABC$$ равноудалены от прямой $$A_1C_1$$, что и требовалось доказать.