Упр.11.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Пусть даны отрезки $$c$$ и $$h$$, где $$c$$ — гипотенуза искомого прямоугольного треугольника, а $$h$$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу.

1. Построим отрезок $$AB=c$$.
2. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и обозначим точку его пересечения с отрезком $$AB$$ через $$O$$.
3. На серединном перпендикуляре отложим от точки $$O$$ отрезок $$OC_1=h$$.
4. Через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную прямой $$AB$$.
5. С центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$ проведём окружность.
6. Обозначим через $$C$$ точку пересечения этой окружности с прямой, параллельной $$AB$$.

Треугольник $$ABC$$ — искомый.

Действительно, точка $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$, значит $$OA=OB$$. Окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через точки $$A$$ и $$B$$. Точка $$C$$ лежит на прямой, параллельной $$AB$$, на расстоянии $$h$$ от неё, поэтому высота, опущенная из вершины $$C$$ на $$AB$$, равна $$h$$. Кроме того, так как точка $$C$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$, то $$\angle ACB=90^\circ$$.

Следовательно, построен прямоугольный треугольник с гипотенузой $$AB=c$$ и высотой $$h$$.