Упр.15.54 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему
плоскость;
Найти: отношение площади полученного сечения к площади большого
круга;
Решение:
1) Любое сечение шара является кругом;
2) Пусть O-центр данного шара и O1-центр сечения;
3) Проведем диаметр AB окружности сечения и радиус AC шара, тогда
по условию задачи:
OO1 перпендикулярен AB, AO1=O1 B=r-радиус круга сечения;
OA=OC=R-радиус шара и OO1=1/2 OC=R/2;
4) В прямоугольном треугольнике OO1 A по теореме Пифагора:
r^2=AO1^2=OA^2-OO1^2=R^2-(R/2)^2=R^2-R^2/4=(3R^2)/4;
5) Радиусом большого круга является радиус шара;
6) Найдем отношение площади сечения к площади большого круга:
S1/S=(Пиr^2)/(ПиR^2 )=r^2/R^2 =(3R^2)/4 :R^2=3/4;
Ответ: 3:4.

Подробный ответ

Обозначим через $$R$$ радиус шара, а через $$r$$ — радиус полученного сечения.

Плоскость проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему. Пусть $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OO_1=\frac{R}{2}$$, а $$OO_1 \perp$$ плоскости сечения, значит $$OO_1 \perp O_1A$$, где $$A$$ — любая точка окружности сечения.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ по теореме Пифагора:

$$ r^2=O_1A^2=OA^2-OO_1^2=R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}. $$

Площадь сечения:

$$S_1=\pi r^2=\pi \cdot \frac{3R^2}{4}.$$

Площадь большого круга:

$$S=\pi R^2.$$

Тогда

$$ \frac{S_1}{S}=\frac{\pi \cdot \frac{3R^2}{4}}{\pi R^2}=\frac{3}{4}. $$