Упр.11.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$. Проведём медиану $$CO$$ к гипотенузе $$AB$$.

Точка $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности, значит

$$AO=BO=CO.$$

Тогда:

• $$AO=CO$$, следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный;
• $$BO=CO$$, следовательно, треугольник $$BOC$$ равнобедренный.

Значит, медиана $$CO$$ разбивает прямоугольный треугольник $$ABC$$ на два равнобедренных треугольника.