Упр.7.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 7-53. Высота равнобедренного треугольника равна $$12{,}4\ \text{м}$$, а основание равно $$40{,}6\ \text{м}$$. Найдите углы треугольника и боковую сторону.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник, у которого $$AB=40{,}6\text{ м}$$ — основание, а $$CH=12{,}4\text{ м}$$ — высота, проведённая к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой, значит

$$AH=HB=\frac{AB}{2}=\frac{40{,}6}{2}=20{,}3\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. Тогда боковая сторона

$$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{20{,}3^2+12{,}4^2} =\sqrt{412{,}09+153{,}76} =\sqrt{565{,}85}\approx 23{,}8\text{ м}.$$

Найдём угол при основании:

$$\tan \angle A=\frac{CH}{AH}=\frac{12{,}4}{20{,}3}\approx 0{,}6108.$$

Отсюда

$$\angle A\approx 31^\circ25′.$$

Так как треугольник равнобедренный, то

$$\angle B=\angle A\approx 31^\circ25′.$$

Тогда угол при вершине:

$$\angle C=180^\circ-2\angle A=180^\circ-2\cdot 31^\circ25’=117^\circ10′.$$

Ответ: $$\angle A=\angle B=31^\circ25′,$$ $$\angle C=117^\circ10′,$$ $$AC=BC\approx 23{,}8\text{ м}.$$