Упр.5.53 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Построим треугольник $$A_1B_1C_1$$, стороны которого параллельны сторонам треугольника $$ABC$$, а вершины лежат на прямых, проходящих через противоположные вершины треугольника $$ABC$$.

Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Так как $$A_1C_1 \parallel AC$$, то $$BH \perp A_1C_1$$.

Докажем, что $$BH$$ является серединным перпендикуляром стороны $$A_1C_1$$ треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$. Имеем:

$$\angle ABC=\angle BCA_1,$$
$$\angle ACB=\angle BAC_1,$$
так как $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$B_1C_1 \parallel BC$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$ABC_1$$ равны по второму признаку, откуда $$BC_1=AC$$.

Аналогично, треугольники $$ABC$$ и $$CBA_1$$ равны по второму признаку, значит $$BA_1=AC$$.

Отсюда $$BA_1=BC_1$$. Значит, точка $$B$$ равноудалена от точек $$A_1$$ и $$C_1$$, а прямая $$BH$$ перпендикулярна $$A_1C_1$$. Следовательно, $$BH$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$A_1C_1$$.

Аналогично доказывается, что две другие высоты треугольника $$ABC$$ являются серединными перпендикулярами двух других сторон треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Но серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Значит, и высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в одной точке.