Упр.13.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

По данной длине дуги $$l$$ найдите её хорду, если дуга содержит: 1) $$60^\circ$$; 2) $$90^\circ$$; 3) $$120^\circ$$.

Пусть $$a$$ — искомая хорда, $$R$$ — радиус окружности, $$n$$ — градусная мера дуги. Тогда центральный угол $$\angle AOB=n$$, а длина дуги выражается формулой

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n,$$

откуда

$$R=\frac{180^\circ\cdot l}{\pi n}.$$

1. Если $$n=60^\circ$$, то в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ углы при основании равны:

   $$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

   Значит, $$\triangle AOB$$ равносторонний, поэтому $$a=AB=R$$. Тогда

   $$a=R=\frac{180^\circ\cdot l}{\pi\cdot 60^\circ}=\frac{3l}{\pi}.$$

2. Если $$n=90^\circ$$, то $$\triangle AOB$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

   $$AB^2=OA^2+OB^2,$$

   то есть

   $$a^2=R^2+R^2=2R^2,\qquad a=R\sqrt2.$$

   Подставим найденный радиус:

   $$a=R\sqrt2=\frac{180^\circ\cdot l}{\pi\cdot 90^\circ}\sqrt2=\frac{2\sqrt2\,l}{\pi}.$$

3. Если $$n=120^\circ$$, то в равнобедренном треугольнике $$AOB$$

   $$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$\frac{AB}{\sin\angle AOB}=\frac{OA}{\sin\angle ABO}.$$

   Отсюда

   $$\frac{a}{\sin 120^\circ}=\frac{R}{\sin 30^\circ},$$

   значит

   $$a=R\cdot\frac{\sin 120^\circ}{\sin 30^\circ}=R\cdot\frac{\sqrt3/2}{1/2}=R\sqrt3.$$

   Тогда

   $$a=R\sqrt3=\frac{180^\circ\cdot l}{\pi\cdot 120^\circ}\sqrt3=\frac{3\sqrt3\,l}{2\pi}.$$

Ответ: $$1)~\frac{3l}{\pi};\quad 2)~\frac{2\sqrt2\,l}{\pi};\quad 3)~\frac{3\sqrt3\,l}{2\pi}.$$