Упр.14.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: периметры правильных n-угольников относятся как a:b;
Найти: как относятся их площади;
Решение:
1) Пусть a1 и b1-стороны данных n-угольников;
2) Периметры этих многоугольников равны:
Pa=a1+a2+…+an=n•a1 и Pb=b1+b2+…+bn=n•b1;
3) Значит их стороны относятся как:
Pa/Pb =(n•a1)/(n•b1 )=a1/b1 =a/b;
4) Правильные n-угольники являются подобными, значит их площади
относятся как квадраты их линейных размеров:
Sa/Sb =(a1/b1 )^2=a^2/b^2 ;
Ответ: a^2 :b^2.

Пусть стороны данных правильных $$n$$-угольников равны $$a_1$$ и $$b_1$$.

Тогда их периметры:

$$P_a=n\cdot a_1,\qquad P_b=n\cdot b_1.$$

По условию $$P_a:P_b=a:b$$, значит

$$\frac{P_a}{P_b}=\frac{n\cdot a_1}{n\cdot b_1}=\frac{a_1}{b_1}=\frac{a}{b}.$$

Правильные $$n$$-угольники подобны, поэтому отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров:

$$\frac{S_a}{S_b}=\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}.$$

Ответ

$$a^2:b^2$$