Упр.4.52 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны, равны.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, а $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — перпендикуляры, опущенные из вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$ на прямые, содержащие противолежащие стороны.

Тогда $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — это высоты треугольника.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=CA,$$

а также $$\angle A=\angle B=\angle C.$$

В равностороннем треугольнике каждая высота является одновременно медианой и биссектрисой. Значит,

$$AB_1=BC_1=CA_1$$

и

$$\angle ABB_1=\angle BCC_1=\angle CAA_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABB_1$$, $$BCC_1$$ и $$CAA_1$$. У них равны по одному катету и острому углу, следовательно, эти треугольники равны.

Отсюда

$$AA_1=BB_1=CC_1.$$

Значит, расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие стороны, равны.

Ответ

$$AA_1=BB_1=CC_1.$$