Упр.11.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности. Чему равен угол $$ABC$$, если хорда $$AC$$ равна радиусу окружности? (Два случая.)

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$AO$$ и $$OC$$ — радиусы, а по условию $$AC=R$$. Значит,

$$AO=OC=AC=R,$$

следовательно, треугольник $$AOC$$ равносторонний, и

$$\angle AOC=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Точки $$B$$ и $$O$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$. Тогда центральный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, равен

   $$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

2. Точки $$B$$ и $$O$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$. Тогда

   $$\angle BOC=\frac{1}{2}\bigl(360^\circ-\angle AOC\bigr)=\frac{1}{2}\cdot(360^\circ-60^\circ)=150^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$ или $$150^\circ$$.