Упр.13.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 51. По данной хорде а найдите длину её дуги, если градусная мера дуги равна: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

Пусть $$AB=a$$ — данная хорда, $$n$$ — градусная мера дуги, $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=R$$ и $$\angle AOB=n$$.

Длина дуги выражается формулой

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot n.$$

1) Если $$\angle AOB=60^\circ$$, то

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AOB$$ равносторонний, значит $$R=OA=AB=a$$.

Тогда

$$l=\frac{\pi a}{180^\circ}\cdot 60^\circ=\frac{\pi a}{3}.$$

2) Если $$\angle AOB=90^\circ$$, то

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AB^2=OA^2+OB^2,$$

$$a^2=R^2+R^2=2R^2,$$

откуда

$$R=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot 90^\circ=\frac{\pi a}{2\sqrt{2}}.$$

3) Если $$\angle AOB=120^\circ$$, то

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle AOB}=\frac{OA}{\sin \angle ABO},$$

$$\frac{a}{\sin 120^\circ}=\frac{R}{\sin 30^\circ}.$$

Так как $$\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, а $$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$$, получаем

$$R=a\cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ}=a\cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$l=\frac{\pi R}{180^\circ}\cdot 120^\circ=\frac{\pi a}{180^\circ\sqrt{3}}\cdot 120^\circ=\frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{\pi a}{3};\quad 2)\ \frac{\pi a}{2\sqrt{2}};\quad 3)\ \frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.$$