Упр.5.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из точки $$A$$ к окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$ проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка $$C$$ касания лежит на основании равнобедренного треугольника $$OAB$$, у которого $$OA=AB$$, $$OB=2R$$.
2. Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.

1) По свойству касательной радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $$OC\perp AC$$ и $$OC=R$$.

2) Проведём через точку $$A$$ прямую, перпендикулярную $$AC$$. На этой прямой отметим точку $$B$$ так, чтобы $$BC=R$$. Тогда $$OB=OC+CB=R+R=2R$$.

3) Так как $$OC\perp AC$$ и $$BC\perp AC$$, то точки $$O$$, $$C$$, $$B$$ лежат на одной прямой, а точка $$C$$ — между $$O$$ и $$B$$.

4) Кроме того, $$AC$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$OB$$, значит, точка $$A$$ равноудалена от $$O$$ и $$B$$:

$$OA=AB.$$

Следовательно, треугольник $$OAB$$ равнобедренный, а точка $$C$$ лежит на его основании $$OB$$.

5) Построение касательной через данную точку $$A$$:

1. Проведём через центр $$O$$ прямую и отметим точки её пересечения с окружностью $$D$$ и $$D_1$$.
2. Тогда $$DD_1=2R$$.
3. Построим окружность с центром в $$A$$ радиуса $$AO$$ и окружность с центром в $$O$$ радиуса $$DD_1$$.
4. Их точка пересечения обозначим через $$B$$.
5. Проведём прямую $$OB$$ и отметим на ней точку $$C$$ так, чтобы $$OC=R$$.
6. Прямая $$AC$$ — искомая касательная.

Ответ: $$OA=AB,\quad OB=2R;\quad$$ касательная через данную точку строится по описанному построению.