Упр.11.51 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: точки A, B и C лежат на окружности; AC=R;
Найти: угол BAC;
Решение:
1) Пусть точка O-центр данной окружности;
2) Отрезки AO и OC являются радиусами данной окружности, значит:
AC=AO=OC=R;
3) Значит треугольник AOC-равносторонний, отсюда: угол AOC=60°;
4) Далее возможны два случая:
— Точки B и O лежат по одну сторону от прямой AC, тогда угол BOC
равен половине угла AOC:
угол BOC=1/2 угол AOC=1/2•60°=30°;
— Точки B и O лежат по разные стороны от прямой AC, тогда угол BOC
равен половине угла, дополнительного с углом AOC:
угол BOC=1/2•(360°- угол AOC)=1/2•(360°-60°)=1/2•300°=150°;
Ответ: 30° или 150°.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$AO$$ и $$OC$$ — радиусы, а по условию $$AC=R$$. Значит,

$$AC=AO=OC=R,$$

следовательно, треугольник $$AOC$$ равносторонний и

$$\angle AOC=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим два возможных случая расположения точки $$B$$.

1) Если точки $$B$$ и $$O$$ лежат по одну сторону от прямой $$AC$$, то центральный угол, соответствующий дуге $$AC$$, равен $$60^\circ$$, а вписанный угол $$\angle ABC$$ опирается на эту дугу. Тогда

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

2) Если точки $$B$$ и $$O$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$, то угол $$\angle ABC$$ опирается на большую дугу $$AC$$, величина которой равна

$$360^\circ-60^\circ=300^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 300^\circ=150^\circ.$$